Střídání: liché a sudé obrazce, poloviny

Když se v řadě obrazců střídají barvy, rozděl obrazce na liché a sudé a počítej každou skupinu zvlášť. Naučíš se také sčítat obsahy, které se pokaždé půlí.

V testuStřídání barev bylo v testu 2026 B 16 za 4 body: počet dílů jedné barvy (1 bod), pořadí obrazce s daným počtem dílů (1 bod) a zlomkem část obsahu, kterou zabírají díly jedné barvy (2 body). Dílčí body klíč nedával.

Co potřebuješ znát

Lichá a sudá místa

Korálky na lichých místech jsou bílé, na sudých šedé.

Když se v řadě něco střídá, chovají se lichá místa jinak než sudá. Počítej je proto zvlášť.

Obrazec, ve kterém se střídají barvy

V každém dalším obrazci rozdělíme nejmenší čtverec na 4 stejné díly. Pravý horní díl přebarvíme na opačnou barvu a je to nový, ještě menší čtverec. Obrazec se tak skládá z bílých a šedých dílů.

Každý další čtverec je pravý horní díl předchozího a má opačnou barvu.

Každá barva má v tabulce svůj řádek.

Bílých dílů přibude 2, pak 1, pak zase 2 …Porovnávej proto obrazce ob jeden: liché obrazce mají 1, 4, 7, 10 bílých dílů, sudé 3, 6, 9. Po dvou obrazcích přibudou vždy 3. Šedé díly mají sudé obrazce 1, 4, 7, liché 0, 3, 6.

Obráceně: skoky po dvou obrazcích

Kolikátý obrazec má 25 šedých dílů? Sudé obrazce mají 1, 4, 7 … šedých dílů: 2. obrazec má 1 díl a každý skok o dva obrazce přidá 3:

(25 - 1) : 3 = 8

Od 2. obrazce je to 8 skoků.

2 + 2 \cdot 8 = 18

Každý skok jsou dva obrazce. Je to 18. obrazec.

Když dělení nevyjde celé, zkus druhou skupinu. Třeba 24 šedých dílů: $(24 - 1) : 3$ celé není. Liché obrazce mají 0, 3, 6 … šedých dílů, od 1. obrazce je to $24 : 3 = 8$ skoků. Obrazec je $1 + 2 \cdot 8 = 17$ .

TipJiný pohled je zbytek po dělení: $25 = 8 \cdot 3 + 1$ , zbytek 1 je nejmenší šedý čtverec. Zbytek po dělení vysvětluje kapitola Číselné řady.

Proč se přírůstky střídají

Čtverce očísluj podle obrazce, ve kterém vznikly: 1. čtverec je celý 1. obrazec, 2. čtverec vznikl ve 2. obrazci a tak dál. Liché čtverce jsou bílé, sudé šedé.

4. obrazec. Číslo v dílu říká, ke kterému čtverci díl patří.

Každý čtverec kromě nejmenšího jsme rozdělili na 4 díly a jeden z nich se stal dalším čtvercem. Zůstanou mu 3 díly. Nejmenší čtverec rozdělený není, je to 1 díl. Ve 4. obrazci tak je 6 bílých dílů (čtverce 1 a 3) a 4 šedé (čtverce 2 a 4).

V 9. obrazci jsou bílé čtverce 1, 3, 5, 7 a 9. Nejmenší 9. čtverec dá 1 díl, ostatní 4 po 3 dílech.

4 \cdot 3 + 1 = 13

9. obrazec má 13 bílých dílů.

TipNejdřív urči barvu nejmenšího čtverce: v lichém obrazci je bílý, v sudém šedý.

Obsahy, které se půlí

Teď nová řada obrazců, s předchozí nesouvisí. Na bílý čtverec položíme šedý list přes jeho pravou polovinu, na něj bílý list přes horní polovinu šedého. Každý další list zakryje polovinu předchozího a má opačnou barvu.

Každý list má polovinu obsahu předchozího.

Obsah celého obrazce označ 1. Listy mají obsahy $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ … Z každého listu je vidět jen polovina, druhou zakrývá další list. Jen poslední list je vidět celý.

Jakou část 4. obrazce zabírají bílé díly? Z 1. listu je vidět $\frac{1}{2}$ . 3. list má obsah $\frac{1}{4}$ a vidět je jeho polovina, $\frac{1}{8}$ .

\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

\begin{aligned} \frac{1}{2} + \frac{1}{8} &= \frac{4}{8} + \frac{1}{8} \\ &= \frac{5}{8} \end{aligned}

Bílé díly zabírají $\frac{5}{8}$ obsahu 4. obrazce.

TipKdyž se ztrácíš ve zlomcích, zvol si obsah celého obrazce, třeba 64 cm². Listy pak mají 32, 16, 8 … cm².

Polovina, nebo čtvrtina?

Vlevo čtverec s vrcholy ve středech stran, vpravo čtverec s polovičními stranami.

Vrcholy ve středech stran. Čárkované čáry rozdělí velký čtverec na 4 menší čtverce. Strana šedého čtverce každý z nich rozpůlí: polovina je uvnitř, druhá polovina je rohový trojúhelník. Šedý čtverec má proto polovinu obsahu a 4 rohové trojúhelníky dohromady druhou polovinu. Když rohy přehneš dovnitř, přesně ho zakryjí.

Když do šedého čtverce vložíš stejně další čtverec opačné barvy a pak další, je z každého čtverce vidět jen polovina, jeho rohy, a celý jen poslední. Počítáš stejně jako u listů papíru.

Poloviční strany. Čtverec s polovičními stranami se do velkého vejde čtyřikrát, má jen čtvrtinu obsahu.

Jak na to

Najdi, co se střídá, a urči, které části jsou na lichých a které na sudých místech.
Zapiš tabulku, pro každou barvu zvlášť, a porovnávej obrazce ob jeden.
Rozdělené části počítej zvlášť a nejmenší část zvlášť. Obráceně počítej skoky po dvou obrazcích.
Zkouška: dosaď do nakresleného nebo vypsaného případu.
Odpověz přesně na otázku: kolik, nebo kolikátý? Celý obrazec, nebo poslední část? Která barva?

Řešené příklady

Příklad 1: Čtverce dělené do rohu

Obrazce vznikají jako na obrázku. V každém dalším obrazci rozdělíme nejmenší čtverec na 4 stejné díly a pravý horní přebarvíme na opačnou barvu.

a) O kolik víc bílých dílů než šedých má 14. obrazec?

b) Jeden obrazec má 46 bílých dílů. Kolik má šedých dílů?

Řešení

Pravidlo. V n-tém obrazci je n čtverců, liché jsou bílé a sudé šedé. Rozdělený čtverec dá 3 díly své barvy, nejmenší čtverec 1 díl.
a) Bílé díly. Nejmenší 14. čtverec je šedý. Bílé čtverce 1, 3, … 13 jsou všechny rozdělené, je jich $14 : 2 = 7$ : $7 \cdot 3 = 21$ bílých dílů.
a) Šedé díly. Šedé čtverce 2, 4, … 14 jsou také 7. Rozdělených je 6, nejmenší dá 1 díl: $6 \cdot 3 + 1 = 19$ . Rozdíl je $21 - 19 = 2$ .
b) Skoky. Liché obrazce mají 1, 4, 7, 10 … bílých dílů, každý skok o dva obrazce přidá 3: $(46 - 1) : 3 = 15$ skoků od 1. obrazce.
b) Pořadí. $1 + 2 \cdot 15 = 31$ , je to 31. obrazec.
b) Šedé díly. 1. obrazec má 1 díl a každý další o 3 víc. 31. obrazec má $1 + 30 \cdot 3 = 91$ dílů, šedých z nich je $91 - 46 = 45$ .
Zkouška. Šedé čtverce 2, 4, … 30 jsou všechny rozdělené, protože nejmenší 31. čtverec je bílý: $15 \cdot 3 = 45$ . Sedí.

OdpověďVe 14. obrazci je bílých dílů o 2 víc než šedých. Obrazec se 46 bílými díly má 45 šedých dílů.

Příklad 2: Listy papíru

Na bílý čtverec pokládáme listy papíru jako na obrázku. Každý další list zakryje polovinu předchozího listu a má opačnou barvu. Spodní bílý čtverec má obsah 64 cm². Kolik cm² zabírají v 6. obrazci bílé díly? Jakou část obsahu obrazce to je?

Řešení

Co je vidět. Listy mají 64, 32, 16, 8, 4 a 2 cm². Z 1. až 5. listu je vidět polovina: 32, 16, 8, 4 a 2 cm². Poslední 6. list je vidět celý, 2 cm².
Bílé díly. Bílé jsou liché listy 1., 3. a 5.: $32 + 8 + 2 = 42$ cm².
Zkouška. Šedé díly: $16 + 4 + 2 = 22$ cm². Dohromady $42 + 22 = 64$ cm², celý obrazec. Sedí.
Část obsahu. $\frac{42}{64} = \frac{21}{32}$ .

OdpověďBílé díly zabírají v 6. obrazci 42 cm², to je $\frac{21}{32}$ obsahu obrazce.

Časté chyby

Nejmenší čtverec počítáš jako rozdělený, nebo na něj zapomeneš. Pro bílé díly 9. obrazce ti pak vyjde $5 \cdot 3 = 15$ , nebo $4 \cdot 3 = 12$ místo 13.
Nejmenší čtverec rozdělený není a je to 1 díl. Jeho barvu urči podle toho, jestli je pořadí obrazce liché, nebo sudé.
Zapomeneš, že skok jsou dva obrazce. U 25 šedých dílů napíšeš 8 nebo 10 místo 18.
Pořadí je první obrazec skupiny a k němu dvakrát počet skoků: $2 + 2 \cdot 8 = 18$ . Ověř ho v tabulce.
Sečteš obsahy celých listů místo viditelných částí. Pro bílé díly 4. obrazce ti vyjde $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ , víc než celý obrazec.
Od každého listu odečti, co zakrývá další list. Obě barvy dohromady musí dát přesně 1.
Myslíš si, že čtverec s vrcholy ve středech stran má čtvrtinu obsahu, protože vypadá malý.
Přehni v duchu rohy dovnitř. Když vložený čtverec přesně zakryjí, má polovinu obsahu. Čtvrtinu má jen čtverec s polovičními stranami.
Na otázku „jakou část obsahu“ odpovíš poměrem počtu dílů nebo poměrem šedé ku bílé.
Díly nejsou stejně velké, jejich počet o obsahu nic neříká. Část obsahu je obsah dílů jedné barvy vydělený obsahem celého obrazce.

Zkus si

Čtverce dělené do rohu jako v příkladu. Kolikátý obrazec má 33 šedých dílů?

Ukaž řešení

Sudé obrazce. Mají 1, 4, 7 … šedých dílů, ale $(33 - 1) : 3$ celé není.
Liché obrazce. Mají 0, 3, 6 … šedých dílů: $33 : 3 = 11$ skoků od 1. obrazce.
Pořadí. $1 + 2 \cdot 11 = 23$ . Je to 23. obrazec.
Zkouška. Ve 23. obrazci jsou šedé čtverce 2, 4, … 22 všechny rozdělené: $11 \cdot 3 = 33$ . Sedí.

Výsledek23. obrazec

Listy papíru jako v příkladu. Jakou část obsahu 7. obrazce zabírají šedé díly?

Ukaž řešení

Co je vidět. Listy 1. až 6. jsou vidět napůl: $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{32}$ a $\frac{1}{64}$ . Poslední 7. list je vidět celý, $\frac{1}{64}$ .
Šedé díly. Šedé jsou sudé listy 2., 4. a 6.: $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{16}{64} + \frac{4}{64} + \frac{1}{64} = \frac{21}{64}$ .
Zkouška. Bílé díly: $\frac{32}{64} + \frac{8}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{43}{64}$ , dohromady $\frac{21}{64} + \frac{43}{64} = 1$ .

Výsledek $\frac{21}{64}$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.