Aritmetický průměr z grafu a z tabulky

Jak spočítat průměr ze sloupců grafu a z tabulky četností a jak z průměru dopočítat součet, chybějící hodnotu nebo počet.

V testuPrůměr z grafu bývá jedním z tvrzení ano/ne v úloze 11. Průměr z tabulky četností byl podúlohou za 1 bod v úloze 7 a počet žáků z průměru známek výběrem za 2 body v úloze 14 (oboje 2025). Ve stejné úloze 7 byla za 3 body i podúloha najít všechny možné počty.

Co potřebuješ znát

Co je aritmetický průměr

Představ si, že všechny hodnoty sesypeš na jednu hromádku a rozdělíš rovným dílem. Na každého pak připadne právě průměr.

\text{průměr} = \frac{\text{součet všech hodnot}}{\text{počet hodnot}}

Lucie si pět dní zapisovala, kolik kilometrů uběhla: 3, 5, 0, 4 a 3 km. Průměr je $(3 + 5 + 0 + 4 + 3) : 5 = 3$ km za den.

TipNula je také hodnota. Den, kdy Lucie neběžela, se do počtu dní počítá.

Průměr ze sloupcového grafu

Přečti hodnotu každého sloupce, sečti je a vyděl počtem sloupců. Den bez sloupce má hodnotu 0 a do počtu patří.

TipPrázdný pruh mezi čárkovanými čarami není nula. Je to chybějící údaj a ten nejdřív dopočítej (kapitola o grafu s chybějícími údaji).

Průměrná teplota vody je

(24 + 26 + 25 + 27 + 23) : 5 = 25

°C.

Osa tady začíná na 20 °C. Ve čtvrtek je sloupec víc než dvakrát delší než v pátek, teplota ale je 27 °C proti 23 °C. Hodnotu čti vždy na ose.

Počet měsíců nebo dní si spočítej na prstech. Od května do září je 5 měsíců: květen, červen, červenec, srpen a září. Odečtení $9 - 5 = 4$ na jeden z nich zapomene.

Průměr z tabulky četností

Tabulka často neuvádí každou hodnotu zvlášť, ale kolik lidí mělo kterou hodnotu. Tomu počtu se říká četnost. Každou hodnotu pak započítáš tolikrát, kolik lidí ji má. Takovému průměru se říká vážený.

Kolik knih přečetli žáci o prázdninách.

Čtyři žáci přečetli po jedné knize, sedm žáků po dvou knihách a tak dál. Všech žáků je $4 + 7 + 6 + 3 = 20$ .

\text{průměr} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3}{20} = \frac{48}{20} = 2{,}4

\begin{aligned} \text{průměr} &= \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3}{20} \\ &= \frac{48}{20} \\ &= 2{,}4 \end{aligned}

TipDěl počtem žáků (20), ne počtem různých hodnot (4). Průměr čísel 1, 2, 3 a 4 je 2,5, ale ten nebere ohled na to, kolik žáků kterou hodnotu má.

Z průměru zpátky k součtu

Když znáš průměr a počet hodnot, znáš i jejich součet:

\text{součet} = \text{průměr} \cdot \text{počet}

Čtyři hráči měli průměrně 15 bodů, dohromady tedy $4 \cdot 15 = 60$ bodů. Tři z nich měli 12, 18 a 14 bodů. Čtvrtý měl $60 - 12 - 18 - 14 = 16$ bodů.

Když chybějí dva počty a zadání o nich něco říká („dvojek bylo stejně jako trojek“), označ jeden z nich $x$ a druhý zapiš pomocí $x$ . Rovnici dá součet: součet všech známek je průměr krát počet žáků. Ukazuje to druhý řešený příklad.

Když vyjde víc řešení

Šest dětí soutěžilo v hodu na cíl. Každé dostalo 1, 3, nebo 4 body a průměr byl 3 body. Kolik dětí mohlo dostat 4 body? Součet je $3 \cdot 6 = 18$ bodů. Kdyby dostalo každé dítě 3 body, bylo by to přesně 18. Každé dítě se 4 body přidá jeden bod navíc, každé dítě s 1 bodem dva body ubere. Dětí se 4 body je proto dvakrát víc než dětí s 1 bodem:

žádné dítě s 1 bodem, žádné dítě se 4 body a všech 6 dětí se 3 body,
1 dítě s 1 bodem, 2 děti se 4 body a 3 děti se 3 body,
2 děti s 1 bodem, 4 děti se 4 body a žádné dítě se 3 body,
3 děti s 1 bodem a 6 dětí se 4 body: to je 9 dětí, víc než 6. Nejde to.

Dětí se 4 body tedy mohlo být 0, 2 nebo 4. I nula („žádné dítě“) je řešení, nevynechej ji. Když zadání chce všechna řešení, zkoušej postupně všechny možnosti a vypiš každou, která vyhovuje.

Jak na to

Přečti z grafu nebo z tabulky všechny hodnoty a jejich počty.
Chybějící počet dopočítej ze zadání: zbytek do celku, „o 2 víc“, nebo rovnicí.
Sečti hodnoty, každou tolikrát, kolik lidí ji má.
Vyděl počtem všech hodnot: lidí, dní nebo měsíců.
Když hledáš počet nebo chybějící hodnotu, začni součtem: průměr krát počet.

Řešené příklady

Příklad 1: Hodnocení školního oběda

Školní oběd hodnotilo 20 žáků. Každý dal 3, 4, nebo 5 hvězdiček. V tabulce je jen počet žáků, kteří dali 4 hvězdičky. Žáků, kteří dali 3 hvězdičky, bylo o 2 víc než žáků, kteří dali 5 hvězdiček. Urči aritmetický průměr počtu hvězdiček.

Řešení

Čtení tabulky. Čtyři hvězdičky dalo 8 žáků. Tři nebo pět hvězdiček dalo $20 - 8 = 12$ žáků.
Počty z podmínky. Od 12 odečteme rozdíl 2 a zbytek rozdělíme napůl: $(12 - 2) : 2 = 5$ . Pět hvězdiček dalo 5 žáků, tři hvězdičky $5 + 2 = 7$ žáků.
Součet hvězdiček. $7 \cdot 3 + 8 \cdot 4 + 5 \cdot 5 = 21 + 32 + 25 = 78$ .
Průměr. Dělíme počtem všech žáků: $78 : 20 = 3{,}9$ .

OdpověďAritmetický průměr počtu hvězdiček je 3,9.

Příklad 2: Známka pro školní výlet

Všech 24 žáků 8. B hodnotilo školní výlet známkou jako ve škole. Kolik žáků dalo čtyřku a pětku, je v tabulce. Dvojek bylo stejně jako trojek. Aritmetický průměr známek byl 1,75. Kolik žáků dalo výletu jedničku?

Řešení

Čtení tabulky. Čtyřku dali 2 žáci, pětku nikdo. Jedničku, dvojku nebo trojku dalo $24 - 2 = 22$ žáků.
Označíme počty. Dvojek je $x$ a trojek stejně, také $x$ . Jedničku dali ostatní: $22 - 2x$ žáků.
Součet známek. Součet je průměr krát počet žáků: $1{,}75 \cdot 24 = 42$ .
Rovnice. Jedničky dají dohromady $22 - 2x$ , dvojky $2x$ , trojky $3x$ a čtyřky $4 \cdot 2 = 8$ : $22 - 2x + 2x + 3x + 8 = 42$ .
Řešení. $30 + 3x = 42$ , tedy $3x = 12$ a $x = 4$ . Jedniček je $22 - 2 \cdot 4 = 14$ .
Zkouška. Jedniček 14, dvojek 4, trojek 4 a čtyřek 2. Součet známek $1 \cdot 14 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 42$ a průměr $42 : 24 = 1{,}75$ . Sedí to.

OdpověďJedničku dalo výletu 14 žáků.

Časté chyby

Z tabulky četností spočítáš průměr jen čísel v záhlaví, nebo součet vydělíš počtem sloupců tabulky.
Každou hodnotu vynásob počtem lidí, kteří ji mají. Součet vyděl počtem všech lidí.
Den bez sloupce v grafu vynecháš a dělíš o jeden den méně.
Den bez sloupce má hodnotu 0 a do počtu dní patří.
Počet měsíců od května do září spočítáš odečtením: $9 - 5 = 4$ .
Vypiš si měsíce: květen, červen, červenec, srpen, září. Je jich 5.
Osa nezačíná nulou a výšku sloupce čteš od spodního okraje grafu.
Hodnotu čti vždy na ose, ve výšce vrcholu sloupce.
U průměru známek počítáš, jako by od každé známky bylo stejně žáků, nebo vynecháš počet, který je jen v tabulce.
Počty zapiš přesně podle zadání a přidej i počty z tabulky. Počet zbylé známky dopočítej od celkového počtu žáků.
Prohodíš počty: „o 2 víc“ přiřadíš jiné hodnotě, než o které zadání mluví.
Než začneš počítat, zapiš si podmínku slovy: žáků se třemi hvězdičkami je o dva víc než žáků s pěti hvězdičkami.

Zkus si

Vojta si zapisoval, kolik kilometrů ujel na kole od pondělí do soboty. Kolik kilometrů ujel v průměru za den?

Ukaž řešení

Čtení grafu. 12, 0, 8, 14, 10 a 4 km. V úterý sloupec není, to je 0 km.
Součet. $12 + 0 + 8 + 14 + 10 + 4 = 48$ km.
Průměr. Dní je 6, i s úterkem: $48 : 6 = 8$ km.

Výsledek8 km

Pět balíků váží v průměru 12 kg. Čtyři z nich váží 10, 15, 11 a 9 kg. Kolik váží pátý?

Ukaž řešení

Součet. $5 \cdot 12 = 60$ kg.
Pátý balík. $60 - 10 - 15 - 11 - 9 = 15$ kg.

Výsledek15 kg

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.