Graf s chybějícími údaji

Některé sloupce v grafu chybějí. Dopočítáš je z ostatních sloupců a z textu: ze stavu a změny, z doplňku do celku nebo z průměru.

V testuÚloha 11 ve variantách B, C a D testu 2026: tři tvrzení ano/ne za 4 body. Pokaždé platí jiné pravidlo, podle kterého chybějící údaje dopočítáš.

Co potřebuješ znát

Jak chybějící údaj vypadá

Místo sloupce je bílý pruh mezi dvěma čárkovanými čarami. Sahá přes celou výšku grafu a o hodnotě nic neprozradí. Neodhaduj ji, dopočítej ji.

Projekt odevzdalo všech 26 žáků třídy. V pátek ho odevzdalo

26 - (5 + 7 + 3 + 6) = 5

žáků.

Stav, přírůstek a úbytek

Představ si sklad, šatnu nebo automat na nápoje. Ráno tam něco je, přes den něco přibude a něco ubude. Co večer zbude, je tam i další ráno.

\text{ráno} + \text{přibylo} - \text{ubylo} = \text{další ráno}

Ráno bylo ve skladu 18 palet, přes den přivezli 3 a odvezli 5. Další ráno tam je $18 + 3 - 5 = 16$ palet.

Zpátky to jde obráceně. Když znáš další ráno, přírůstek i úbytek, je ranní stav $16 - 3 + 5 = 18$ . Co ubylo, ráno ještě bylo na místě, proto to přičítáš.

TipÚbytek bývá v grafu nakreslený sloupcem dolů od nuly. Čísla pod nulou se píšou bez minusu, jsou to počty.

Doplněk do celku

Když text řekne celek („třída má 26 žáků a každý odevzdal projekt právě jednou“), je chybějící údaj celek minus součet nakreslených sloupců. Tak vyšel pátek v grafu nahoře.

Podobně doplněk do požadovaného počtu. Dopoledne mají v knihovně pomáhat 3 lidé, odpoledne 6 lidí. Chybějící místa doplní dobrovolníci. Když dopoledne přišli 2 žáci a odpoledne 4 žáci, je potřeba dopoledne $3 - 2 = 1$ dobrovolník a odpoledne $6 - 4 = 2$ dobrovolníci. Od každé služby odečítej její vlastní požadovaný počet.

Úvaha o nejmenším počtu: v pondělí byla potřeba 3 místa pro dobrovolníky, v úterý 2 a ve středu 4. Když smí mít každý dobrovolník službu nejvýše jednou za den, potřebuješ aspoň tolik dobrovolníků, kolik míst má nejnáročnější den: 4. Víc jich potřeba není, 4 dobrovolníci stačí i na pondělí a úterý. Součet $3 + 2 + 4 = 9$ je počet služeb, ne lidí.

Hodnota z průměru a stejný přírůstek

Když je jedna hodnota průměrem dvou jiných, leží přesně uprostřed mezi nimi. Když je 50 průměrem čísel 46 a $b$ , platí $(46 + b) : 2 = 50$ , tedy $b = 2 \cdot 50 - 46 = 54$ .

Když hodnota roste každý týden o stejný kus, rozdíl dvou známých hodnot vyděl počtem týdnů mezi nimi. V 1. týdnu 12 cm, ve 4. týdnu 27 cm: za 3 týdny přibylo $27 - 12 = 15$ cm, za týden $15 : 3 = 5$ cm.

TipPrůměr sousedních sloupců použij jen tam, kde to zadání říká. Stejný přírůstek platí jen v období, o kterém zadání mluví. Do průměru všech hodnot patří i dopočítané hodnoty.

Jak na to

Přečti všechny nakreslené hodnoty a vyznač si, které chybějí.
V textu najdi pravidlo, které hodnoty spojuje: stav a změna, celek, průměr, nebo stejný přírůstek.
Chybějící hodnoty dopočítej v pořadí, v jakém na sebe navazují.
Teprve pak rozhoduj o tvrzeních. Pozor na „méně než“ a „aspoň“.

Řešené příklady

Příklad 1: Bedny jablek ve skladu

Ve skladu ovoce si každý den zapisují, kolik beden jablek tam bylo ráno, kolik jich během dne přivezli a kolik odvezli do obchodů. Na noc se sklad zavírá, přes noc se počet beden nemění. V grafu tři údaje chybí. Rozhodni o každém tvrzení, jestli je pravdivé.

A) V úterý ráno bylo ve skladu méně beden než v pondělí ráno.

B) V úterý odvezli ze skladu 12 beden.

C) Ve čtvrtek přivezli do skladu aspoň 8 beden.

Řešení

Čtení grafu. Ráno: 18, úterý chybí, 12, 18 a 14 beden. Přivezli: 8, 6, 10, čtvrtek chybí a 6. Odvezli: 10, úterý chybí, 4, 12 a 8.
Jak počty navazují. Bedny, které večer ve skladu zůstaly, tam jsou i další ráno. Ranní stav plus přivezené minus odvezené dá ranní stav dalšího dne.
Tvrzení A. V úterý ráno bylo ve skladu $18 + 8 - 10 = 16$ beden, to je méně než 18 v pondělí. Tvrzení platí.
Tvrzení B. V úterý chybí ranní stav i odvezené bedny. Ranní stav už známe: 16 beden. Odvezli $x$ beden: $16 + 6 - x = 12$ , tedy $x = 16 + 6 - 12 = 10$ . Tvrzení neplatí. Číslo 12 vyjde, když se za úterní ranní stav vezme pondělní sloupec: $18 + 6 - 12 = 12$ .
Tvrzení C. Ve čtvrtek ráno bylo 18 beden, odvezli 12 a v pátek ráno jich bylo 14. Přivezli $y$ beden: $18 + y - 12 = 14$ , tedy $y = 14 - 18 + 12 = 8$ . „Aspoň 8“ zahrnuje i 8, tvrzení platí.

OdpověďTvrzení A platí, tvrzení B neplatí a tvrzení C platí.

Příklad 2: Kasička

Nela si na konci každého měsíce zapisuje, kolik korun má v kasičce. V grafu jsou částky z konce ledna až června, tři údaje chybí. Od konce ledna do konce dubna přibylo v kasičce každý měsíc stejně. Částka na konci května je aritmetickým průměrem částek na konci dubna a na konci června. Rozhodni o každém tvrzení, jestli je pravdivé.

A) Na konci dubna měla Nela v kasičce 390 Kč.

B) Za březen přibylo v kasičce 60 Kč.

C) Na konci června měla Nela víc než dvojnásobek částky z konce ledna.

Řešení

Čtení grafu. Osa začíná na 200 Kč. Na konci ledna 240 Kč, května 440 Kč a června 460 Kč. Únor, březen a duben chybí.
Duben z průměru. Květen leží uprostřed mezi dubnem a červnem: $(d + 460) : 2 = 440$ . Odtud $d = 2 \cdot 440 - 460 = 420$ Kč.
Stejný přírůstek. Od konce ledna do konce dubna uběhly 3 měsíce a přibylo $420 - 240 = 180$ Kč, za každý měsíc $180 : 3 = 60$ Kč. Na konci února $240 + 60 = 300$ Kč, března $300 + 60 = 360$ Kč.
Tvrzení A. Na konci dubna bylo v kasičce 420 Kč. Číslo 390 vyjde, když se stejný přírůstek počítá až do května: $(440 - 240) : 4 = 50$ a $240 + 3 \cdot 50 = 390$ . Stejně ale přibývalo jen do dubna. Tvrzení neplatí.
Tvrzení B. Za březen přibylo $360 - 300 = 60$ Kč. Tvrzení platí.
Tvrzení C. Dvojnásobek částky z ledna je $2 \cdot 240 = 480$ Kč. Na konci června bylo v kasičce 460 Kč, to je méně. Tvrzení neplatí.

OdpověďTvrzení A neplatí, tvrzení B platí a tvrzení C neplatí.

Časté chyby

Při dopočtu stavu zapomeneš na úbytek, nebo na přírůstek.
Počítej vždy se všemi třemi čísly: ranní stav, co přibylo a co ubylo.
Při počítání zpátky odečteš i to, co ubylo.
Co během dne ubylo, ráno ještě bylo na místě. Při počítání zpátky to přičti.
Za chybějící ranní stav vezmeš sloupec z předchozího dne.
Ten ukazuje stav o den dřív. Ranní stav je to, co zůstalo předchozí večer. Dopočítej ho jako první.
Chybějící sloupec dopočítáš jako průměr sousedních nakreslených sloupců.
Průměr použij jen tam, kde to zadání říká. Jinak hledej v textu jiné pravidlo, třeba stejný přírůstek.
Stejný přírůstek použiješ i mimo období, o kterém zadání mluví.
Stejně přibývá jen v období ze zadání. Za jeho hranicí počítej podle jiného pravidla.
Do průměru všech hodnot dáš jen nakreslené sloupce.
Nejdřív dopočítej chybějící hodnoty. Průměr všech hodnot počítá se všemi.
U doplňku do požadovaného počtu odečítáš u všech služeb od stejného čísla.
Ke každé službě si napiš její požadovaný počet a odečítej od něj.
U nejmenšího počtu lidí sečteš místa za celý týden, nebo vezmeš jen jednu službu s nejvíc místy.
Když smí mít každý službu jednou za den, rozhoduje den, který potřebuje nejvíc míst dohromady.

Zkus si

Všech 33 žáků dvou tříd vrátilo do knihovny po jedné učebnici. Graf ukazuje, kolik chlapců a kolik dívek vrátilo učebnici v jednotlivých dnech. Středeční údaje chybí. Kolik žáků vrátilo učebnici ve středu?

Ukaž řešení

Čtení grafu. V pondělí, úterý, čtvrtek a pátek chlapci 4, 3, 2 a 5, dívky 3, 5, 4 a 1.
Bez středy. $4 + 3 + 2 + 5 + 3 + 5 + 4 + 1 = 27$ žáků.
Středa. $33 - 27 = 6$ žáků.

Výsledek6 žáků

V pondělí ráno bylo v automatu 45 plechovek. Během pondělí obsluha doplnila 20 plechovek a v úterý ráno jich v automatu bylo 38. Kolik plechovek se prodalo od pondělního do úterního rána?

Ukaž řešení

Rovnice. Prodaných plechovek je $p$ : $45 + 20 - p = 38$ .
Prodané plechovky. $p = 45 + 20 - 38 = 27$ .

Výsledek27 plechovek

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.