Matematika k přijímačkám

Zbytek, celek ze zbytku a kapacita

Úlohy, kde se celek dělí postupně a ze zbytku nebo z rozdílu procent se počítá celek.

V testuÚlohy 11–14 za 2 body, tvrzení ano/ne za 3–4 body a úlohy s podúlohami za 3–4 body.

Co potřebuješ znát

Procenta ze zbytku

„40 % zbytku“ není 40 % celku. Nejdřív spočítej zbytek, z něj pak procenta. Ze 600 Kč utratila Lucie čtvrtinu za lístky, zbylo jí 450 Kč. Z nich 40 % dala za jídlo: 0,4⋅450=1800{,}4 \cdot 450 = 180 Kč. Zbylo jí 450−180=270450 - 180 = 270 Kč.

150180270600 Kčzbytek 450 Kč

Celek ze zbytku

Když víš, kolik zbylo, a umíš říct, kolik procent celku to je, spočítáš celek přes 1 %. Lucie dala za lístky 25 % celku. Za jídlo dala 40 % ze zbývajících 75 %, to je 0,4⋅75=300{,}4 \cdot 75 = 30 % celku. Zbylo jí 100−25−30=45100 - 25 - 30 = 45 % celku, tedy 270 Kč. 1 % je 270:45=6270 : 45 = 6 Kč, celek 6⋅100=6006 \cdot 100 = 600 Kč.

Celek je hotovo plus zbytek

Cyklista ujel 48 km a do cíle mu zbývá 32 km. Celek je 48+32=8048 + 32 = 80 km. Ujel 48:80⋅100=6048 : 80 \cdot 100 = 60 % trasy. Dělit zbytkem 32 km je chyba, základ je celá trasa.

Někdy je zbytek zadaný rozdílem: „zbývá mu o 16 km méně, než už ujel“. Pak ho spočítej nejdřív: 48−16=3248 - 16 = 32 km.

Část zadaná rozdílem

Skautský oddíl šetří na stan. Z bazaru má 35 % ceny stanu, z brigády o 180 Kč víc než z bazaru. Chybí ještě 600 Kč. Kolik stojí stan?

Bazar a brigáda jsou dohromady 35+35=7035 + 35 = 70 % ceny a k tomu 180 Kč. Na zbylých 100−70=30100 - 70 = 30 % připadá chybějících 600 Kč i těch 180 Kč: 600+180=780600 + 180 = 780 Kč. 1 % je 780:30=26780 : 30 = 26 Kč, stan stojí 26⋅100=2 60026 \cdot 100 = 2\,600 Kč.

TipProcenta mají bazar i brigáda, proto je počítáš dvakrát. Korunový příplatek 180 Kč má jen brigáda, ten počítáš jednou.

Rozdíl procent dává počet

V parkovacím domě bylo obsazeno 40 % míst. Přijelo 90 aut a obsazenost stoupla na 55 %. Těch 90 aut je 55−40=1555 - 40 = 15 % kapacity. 1 % je 90:15=690 : 15 = 6 míst, parkovací dům má 6⋅100=6006 \cdot 100 = 600 míst.

Jak na to

  1. Nakresli si celek jako proužek a rozděl ho podle zadání.
  2. U každé části zjisti, z čeho se počítá: z celku, nebo ze zbytku.
  3. Vyjádři známou i hledanou část v procentech celku.
  4. Přes 1 % dopočítej, co chybí.

Řešené příklady

Příklad 1: Celek ze zbytku

Pekárna v pondělí spotřebovala pětinu zásob mouky a v úterý 25 % zbytku. Zbylo 180 kg mouky. Kolik kilogramů mouky měla pekárna na začátku?

Řešení

  1. Po pondělí. Pětina je 20 %. Zbylo 100−20=80100 - 20 = 80 % zásob.
  2. Úterý. 25 % ze zbytku: 0,25⋅80=200{,}25 \cdot 80 = 20 % zásob.
  3. Zbytek. Zbylo 80−20=6080 - 20 = 60 % zásob a to je 180 kg.
  4. 1 %. 180:60=3180 : 60 = 3 kg.
  5. Zásoby na začátku. 3⋅100=3003 \cdot 100 = 300 kg.

OdpověďNa začátku měla pekárna 300 kg mouky.

Příklad 2: Kapacita z rozdílu procent

V pátek ráno bylo v kempu obsazeno 30 % míst. Během dne přijelo ještě 56 rodin a každá obsadila jedno místo. Obsazenost stoupla na 58 %. Kolik míst zůstalo volných?

Řešení

  1. Nárůst v procentech. Obsazenost stoupla o 58−30=2858 - 30 = 28 % kapacity. To je 56 míst.
  2. 1 %. 56:28=256 : 28 = 2 místa.
  3. Kapacita. 2⋅100=2002 \cdot 100 = 200 míst.
  4. Volná místa. Volných je 100−58=42100 - 58 = 42 % kapacity: 42⋅2=8442 \cdot 2 = 84 míst.

OdpověďVolných zůstalo 84 míst.

Časté chyby

Zkus si

Brigádník už natřel 66 m plotu. Zbývá mu natřít o 44 m méně, než už natřel. Kolik procent plotu má natřeno?

Ukaž řešení
  1. Zbytek. 66−44=2266 - 44 = 22 m.
  2. Celý plot. 66+22=8866 + 22 = 88 m.
  3. Procenta. 66:88⋅100=7566 : 88 \cdot 100 = 75 %.

Výsledek75 %

Nádrž byla ze 20 % plná. Po dolití 27 litrů je plná ze 35 %. Kolik litrů se vejde do celé nádrže?

Ukaž řešení
  1. Rozdíl. 35−20=1535 - 20 = 15, 15 % nádrže je 27 litrů.
  2. Celá nádrž. 27:15⋅100=18027 : 15 \cdot 100 = 180 litrů.

Výsledek180 litrů

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.