Když procenta vedou na rovnici

Úlohy, kde hledanou hodnotu nejde spočítat přímo. Jednu hodnotu označíš neznámou a z procentních vztahů sestavíš rovnici.

V testuNejtěžší výběry 12–14 za 2 body, úlohy s podúlohami za 4 body a podúlohy úlohy 15 za 2 body.

Co potřebuješ znát

Neznámá je to, s čím se porovnává

Když se všechno porovnává s jednou hodnotou, označ ji x. Ostatní hodnoty vyjádři pomocí x: o 15 % levnější je $0{,}85x$ , o 20 % dražší je $1{,}2x$ .

\text{o } p\,\% \text{ víc: } \left(1 + \frac{p}{100}\right) x

\text{o } p\,\% \text{ méně: } \left(1 - \frac{p}{100}\right) x

Když x určí zadání

Zadání někdy samo řekne, co je x. A právě tahle hodnota se porovnává s ostatními. Pak druhou hodnotu dostaneš dělením.

Mikina stojí m korun a je o 10 % levnější než bunda. Mikina je 90 % bundy: $m = 0{,}9b$ . Bunda je $b = m : 0{,}9$ . Když mikina stojí 900 Kč, bunda stojí $900 : 0{,}9 = 1\,000$ Kč.

TipNepřičítej 10 % k ceně mikiny. Těch 10 % se počítá z bundy: $900 + 90 = 990$ Kč je chybně.

Rovnice ze součtu

Když znáš součet hodnot, sečti jejich výrazy. Součet výrazů se rovná známému součtu. To je rovnice, kterou vyřešíš jako každou jinou.

Překročení o procenta

„Přihlášek bylo o 15 % víc, než je míst“: základ je počet míst. Když je míst x, přihlášek je $1{,}15x$ a navíc je $0{,}15x$ .

Kurz vaření má dva termíny, každý s x místy. Na první se přihlásilo o 15 % víc lidí, než je míst, na druhý o 25 % víc. Přihlášek bylo 192. Rovnice: $1{,}15x + 1{,}25x = 192$ , tedy $2{,}4x = 192$ a $x = 80$ . Odmítnout museli $0{,}15 \cdot 80 + 0{,}25 \cdot 80 = 32$ lidí.

Dva druhy

Když se něco prodává ve dvou druzích a znáš celkový počet, označ počet jednoho druhu x. Počet druhého druhu je celkový počet minus x. Rovnici pak sestavíš z tržby.

Jak na to

Najdi hodnotu, ke které se ostatní vztahují. Označ ji x, pokud x neurčí zadání.
Každou další hodnotu zapiš výrazem s x. Když hodnota stojí za „než“, děl.
Sestav rovnici z údaje, který znáš: součet, rozdíl, tržba.
Vyřeš ji, dopočítej hledanou hodnotu a udělej zkoušku.

Řešené příklady

Příklad 1: Tři ceny, x určí zadání

Batoh, spacák a karimatka stály dohromady 4 600 Kč. Spacák byl o 20 % levnější než batoh, ale o 60 % dražší než karimatka. Cenu spacáku označ s.

a) Vyjádři pomocí s cenu batohu.

b) Vyjádři pomocí s cenu karimatky.

c) Kolik stál spacák?

Řešení

a) Batoh. Spacák je o 20 % levnější než batoh, stojí tedy 80 % ceny batohu: $s = 0{,}8b$ . Batoh dostaneš dělením: $b = s : 0{,}8 = 1{,}25s$ .
b) Karimatka. Spacák je o 60 % dražší než karimatka, stojí 160 % její ceny: $s = 1{,}6k$ . Karimatka je $k = s : 1{,}6 = 0{,}625s$ .
c) Rovnice. $s + 1{,}25s + 0{,}625s = 4\,600$ , tedy $2{,}875s = 4\,600$ .
c) Spacák. $s = 4\,600 : 2{,}875 = 1\,600$ Kč.
Zkouška. Batoh $1{,}25 \cdot 1\,600 = 2\,000$ Kč, karimatka $0{,}625 \cdot 1\,600 = 1\,000$ Kč, dohromady $1\,600 + 2\,000 + 1\,000 = 4\,600$ Kč. Sedí to.

OdpověďBatoh stál $1{,}25s$ , karimatka $0{,}625s$ a spacák 1 600 Kč.

Příklad 2: Dva druhy vstupenek

Kino prodalo 120 vstupenek. Dospělá stála 150 Kč, dětská byla o 40 % levnější. Tržba byla 15 000 Kč.

a) Kolik stála dětská vstupenka?

b) Kolik dětských vstupenek kino prodalo?

Řešení

a) Dětská vstupenka. O 40 % levnější je 60 % ceny dospělé: $0{,}6 \cdot 150 = 90$ Kč.
b) Neznámá. Dospělých vstupenek bylo x, dětských $120 - x$ .
b) Rovnice z tržby. $150x + 90 \cdot (120 - x) = 15\,000$ . Po roznásobení $150x + 10\,800 - 90x = 15\,000$ .
b) Řešení. $60x = 4\,200$ , tedy $x = 70$ . Dětských vstupenek bylo $120 - 70 = 50$ .
Zkouška. $70 \cdot 150 + 50 \cdot 90 = 10\,500 + 4\,500 = 15\,000$ Kč. Sedí to.

OdpověďDětská vstupenka stála 90 Kč a kino jich prodalo 50.

Časté chyby

Neznámou dáš hodnotě, se kterou se nic neporovnává, a vztahy pak obrátíš špatně.
Když můžeš vybírat, dej x hodnotě za slovem „než“. Když x určí zadání, obrácený vztah vyřeš dělením.
Spacák je o 20 % levnější než batoh, a ty zapíšeš batoh jako $1{,}2s$ .
Základ je batoh. Spacák je 80 % batohu, takže batoh je $s : 0{,}8 = 1{,}25s$ .
„O 20 % levnější“ zapíšeš jako $x - 20$ .
Procenta jsou z x: $x - 0{,}2x = 0{,}8x$ .
Překročení počítáš ze všech přihlášek.
Základ je počet míst x. Navíc je $0{,}15x$ , ne 15 % přihlášek.
U dvou druhů označíš oba počty stejně, x.
Druhý počet je celkový počet minus x.
Odpovíš hodnotou x, i když se ptají na jinou hodnotu.
Po vyřešení rovnice si znovu přečti otázku a dopočítej, co chce.

Zkus si

Kuchař a pomocník dostali za akci dohromady 54 000 Kč. Pomocník dostal o 20 % méně než kuchař. Kolik dostal kuchař?

Ukaž řešení

Rovnice. Kuchař dostal x, pomocník $0{,}8x$ : $x + 0{,}8x = 54\,000$ , tedy $1{,}8x = 54\,000$ .
Kuchař. $x = 54\,000 : 1{,}8 = 30\,000$ Kč.

Výsledek30 000 Kč

Na výletní lodi je 66 cestujících, jen muži, ženy a děti. Mužů je o 30 % víc než žen a dětí je stejně jako žen. Kolik je na lodi mužů?

Ukaž řešení

Výrazy. Žen je x, dětí také x, mužů $1{,}3x$ .
Rovnice. $x + x + 1{,}3x = 66$ , tedy $3{,}3x = 66$ a $x = 20$ .
Muži. $1{,}3 \cdot 20 = 26$ .

Výsledek26

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.