Matematika k přijímačkám

Dvě změny za sebou

Proč se procenta dvou změn nesčítají a jak spočítat cenu po dvou slevách nebo po zdražení a slevě.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body, úloha za 1 bod na začátku testu i podúloha úlohy 15 (v roce 2024 úlohy 16). Chybné možnosti v nabídce bývají právě sečtená procenta.

Co potřebuješ znát

Druhá změna má nový základ

První změna se počítá z původní ceny. Druhá změna z ceny po první změně. Proto se procenta dvou změn nesčítají.

Cena 800 Kč stoupla o 20 % na 960 Kč. Pak klesla o 20 %, ale z 960 Kč, tedy o 192 Kč. Na konci je 960−192=768960 - 192 = 768 Kč, ne 800 Kč.

800 Kčna začátku960 Kč+ 20 %768 Kč− 20 %

Změny násob

Zdražení o 20 % je násobení číslem 1,2, zlevnění o 20 % násobení číslem 0,8. Číslu, kterým násobíš, se říká koeficient. Obě změny za sebou: 1,2⋅0,8=0,961{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96. Cena je 96 % původní, tedy o 4 % nižší.

Dvakrát o 20 % víc: 1,2⋅1,2=1,441{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44. Cena je o 44 % vyšší, ne o 40 %.

Celkové snížení v procentech

Celkovou změnu v procentech počítej vždy z původní ceny: rozdíl mezi původní a konečnou cenou vyděl původní cenou a vynásob stem.

Zpátky přes dvě změny

Konečnou cenu vyděl celkovým koeficientem. Po slevě 10 % a zdražení o 30 % je koeficient 0,9⋅1,3=1,170{,}9 \cdot 1{,}3 = 1{,}17. Když zboží teď stojí 585 Kč, stálo původně 585:1,17=500585 : 1{,}17 = 500 Kč.

Jak na to

  1. Každou změnu přepiš na koeficient: o p % víc je 1+p1001 + \frac{p}{100}, o p % méně 1−p1001 - \frac{p}{100}.
  2. Koeficienty vynásob, dostaneš celkovou změnu.
  3. Hledáš konečnou hodnotu? Násob. Hledáš původní? Děl.
  4. Celkovou změnu v procentech zjistíš z koeficientu: 0,9 je o 10 % méně, 1,08 o 8 % víc.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě slevy a celkové snížení

Tablet stál 8 000 Kč. Obchod ho nejdřív zlevnil o 12 %. Po měsíci cenu snížil ještě o 704 Kč. O kolik procent je konečná cena nižší než původní?

Řešení

  1. První sleva. 12 % z 8 000 Kč je 0,12⋅8 000=9600{,}12 \cdot 8\,000 = 960 Kč. Cena klesla na 8 000−960=7 0408\,000 - 960 = 7\,040 Kč.
  2. Druhá sleva. 7 040−704=6 3367\,040 - 704 = 6\,336 Kč.
  3. Celkové snížení v korunách. 8 000−6 336=1 6648\,000 - 6\,336 = 1\,664 Kč.
  4. V procentech původní ceny. 1 664:8 000⋅100=20,81\,664 : 8\,000 \cdot 100 = 20{,}8 %.
  5. Pozor na past. Druhá sleva 704 Kč je 10 % z 7 040 Kč. Slevy dohromady přesto nejsou 22 %, protože každá má jiný základ.

OdpověďKonečná cena je o 20,8 % nižší než původní.

Příklad 2: Původní cena přes dvě změny

Cenu stanu obchod zvýšil o 20 % a po sezóně ji snížil o 25 %. Teď stan stojí 3 240 Kč. Kolik stál stan původně?

Řešení

  1. Koeficienty. Zvýšení o 20 % je krát 1,2. Snížení o 25 % je krát 0,75.
  2. Celková změna. 1,2⋅0,75=0,91{,}2 \cdot 0{,}75 = 0{,}9. Stan stojí 90 % původní ceny.
  3. Původní cena. 3 240:0,9=3 6003\,240 : 0{,}9 = 3\,600 Kč.
  4. Kontrola. 3 600⋅1,2=4 3203\,600 \cdot 1{,}2 = 4\,320 Kč a 4 320⋅0,75=3 2404\,320 \cdot 0{,}75 = 3\,240 Kč. Sedí to.

OdpověďStan původně stál 3 600 Kč.

Časté chyby

Zkus si

Cena lyží stoupla o 30 % a pak klesla o 30 %. O kolik procent jsou lyže teď levnější než na začátku?

Ukaž řešení
  1. Koeficienty. 1,3⋅0,7=0,911{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}91.
  2. Změna. Lyže stojí 91 % původní ceny, jsou o 9 % levnější.

Výsledeko 9 %

Šachový klub měl na začátku 200 členů. První rok se počet členů zvýšil o 5 %. Druhý rok se zvýšil o 20 %, a to z počtu po prvním roce. Kolik členů má klub teď?

Ukaž řešení
  1. Po prvním roce. 200⋅1,05=210200 \cdot 1{,}05 = 210 členů.
  2. Po druhém roce. 210⋅1,2=252210 \cdot 1{,}2 = 252 členů.

Výsledek252

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.