Rovnice s druhou mocninou dvojčlenu

Rovnice, ve které je druhá mocnina závorky. Po roznásobení se členy s $x^2$ odečtou a zbude obyčejná lineární rovnice.

V testuV roce 2024 ve variantách A a C jako jedna z rovnic úlohy 5 za 2 body s postupem. Vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu potřebuješ i v úpravách výrazů (úloha 3, v roce 2024 a v roce 2025 ve variantách B–D úloha 4).

Co potřebuješ znát

Druhá mocnina dvojčlenu

Druhá mocnina závorky je závorka vynásobená sama sebou. Roznásobíš ji podle vzorce:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Prostřední člen $2ab$ je dvojnásobný součin. Nikdy nechybí: $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$ a $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$ .

TipVzorce jsou v tabulce vzorců v testovém sešitu (v roce 2024 na straně 2, od roku 2025 na poslední straně) jako rozklad na součin: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)(a - b)$ . Čti je zprava doleva.

Nejdřív umocni, pak násob

Mocnina má přednost před násobením. U $-5 \cdot (x + 2)^2$ nejdřív umocni závorku a výsledek nech v závorce. Teprve potom násob číslem $-5$ :

-5 \cdot (x + 2)^2 = -5 \cdot (x^2 + 4x + 4) = -5x^2 - 20x - 20

\begin{aligned} -5 \cdot (x + 2)^2 &= -5 \cdot (x^2 + 4x + 4) \\ &= -5x^2 - 20x - 20 \end{aligned}

Stejně s minusem před druhou mocninou: $-(x + 6)^2 = -(x^2 + 12x + 36) = -x^2 - 12x - 36$ .

Členy s x² zmizí

Člen s $x^2$ vznikne z druhé mocniny i ze součinu $x$ a závorky: $x \cdot (4 - 3x) = 4x - 3x^2$ . V rovnicích z testu se členy s $x^2$ vždy zruší. Buď je stejný člen na obou stranách a odečteš ho od obou stran, nebo se $x^2$ a $-x^2$ na jedné straně sečtou na nulu. Zbude lineární rovnice.

Rovnice $(x + 3)^2 = x^2 + 15$ : po umocnění $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 15$ . Odečti $x^2$ : $6x + 9 = 15$ , tedy $6x = 6$ a $x = 1$ .

TipKdyž se ti $x^2$ neodečte, je skoro jistě chyba v roznásobení. Zkontroluj znaménka a číslo před závorkou.

Jak na to

Druhou mocninu rozepiš podle vzorce a nech ji v závorce.
Vynásob ji číslem nebo minusem, které stojí před ní.
Roznásob ostatní závorky.
Členy s $x^2$ odečti od obou stran, nebo je sečti na jedné straně. Zmizí.
Dořeš lineární rovnici a udělej zkoušku.

Řešené příklady

Příklad 1: Číslo před druhou mocninou

Řeš rovnici: $4x - 2 \cdot (x - 3)^2 = 6 - 2x \cdot (x - 5)$

Řešení

Umocni závorku. Podle vzorce: $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ .
**Vynásob číslem $-2$ .** Umocněnou závorku vynásob celou: $-2 \cdot (x^2 - 6x + 9) = -2x^2 + 12x - 18$ .
Roznásob pravou stranu. Minus před součinem změní znaménka: $-2x \cdot (x - 5) = -2x^2 + 10x$ .
Zapiš rovnici. $4x - 2x^2 + 12x - 18 = 6 - 2x^2 + 10x$ .
**Zbav se členů s $x^2$ .** Na obou stranách je $-2x^2$ . Přičti k oběma stranám $2x^2$ , člen zmizí. Vlevo sečti podobné členy: $16x - 18 = 6 + 10x$ .
Převeď a vyděl. $16x - 10x = 6 + 18$ , tedy $6x = 24$ a $x = 4$ .
Zkouška. Levá strana: $4 \cdot 4 - 2 \cdot (4 - 3)^2 = 16 - 2 = 14$ . Pravá strana: $6 - 2 \cdot 4 \cdot (4 - 5) = 6 + 8 = 14$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = 4$ .

Příklad 2: Minus před druhou mocninou

Řeš rovnici: $x^2 - (x + 5)^2 = 1{,}5 \cdot (x - 9)$

Řešení

Umocni závorku. $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ . Nech ji v závorce, protože před ní je minus: $x^2 - (x^2 + 10x + 25) = 1{,}5 \cdot (x - 9)$ .
Odstraň závorky. Minus změní znaménka všech tří členů. Vpravo roznásob: $x^2 - x^2 - 10x - 25 = 1{,}5x - 13{,}5$ .
**Sečti členy s $x^2$ .** Členy $x^2$ a $-x^2$ dají dohromady nulu: $-10x - 25 = 1{,}5x - 13{,}5$ .
Převeď a vyděl. $-10x - 1{,}5x = -13{,}5 + 25$ , tedy $-11{,}5x = 11{,}5$ a $x = 11{,}5 : (-11{,}5) = -1$ .
Zkouška. Levá strana: $(-1)^2 - (-1 + 5)^2 = 1 - 16 = -15$ . Pravá strana: $1{,}5 \cdot (-1 - 9) = -15$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = -1$ .

Časté chyby

Vynecháš dvojnásobný součin: $(x - 4)^2$ přepíšeš jako $x^2 + 16$ nebo $x^2 - 16$ .
Použij vzorec $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Prostřední člen $-8x$ nikdy nechybí.
Prostřední člen má opačné znaménko: $(x - 4)^2$ přepíšeš jako $x^2 + 8x + 16$ .
U rozdílu je prostřední člen záporný a poslední kladný: $x^2 - 8x + 16$ .
Číslo před druhou mocninou dáš do závorky a teprve potom umocníš: $-5 \cdot (x + 2)^2$ počítáš jako $(-5x - 10)^2$ .
Mocnina má přednost. Nejdřív umocni, výsledek nech v závorce a pak ho vynásob číslem $-5$ .
Minus před druhou mocninou uplatníš jen na první člen: $-(x + 6)^2$ přepíšeš jako $-x^2 + 12x + 36$ .
Nech umocněný dvojčlen v závorce a změň znaménka všech tří členů: $-(x^2 + 12x + 36) = -x^2 - 12x - 36$ .
V součinu $-2x \cdot (x - 5)$ ztratíš znaménko a napíšeš $-2x^2 - 10x$ .
Minus krát minus dá plus: $-2x \cdot (-5) = 10x$ .
Člen s $x^2$ se ti neodečte a pokusíš se řešit rovnici s $x^2$ .
V rovnicích z testu členy s $x^2$ vždy zmizí. Když ti zbudou, je chyba v roznásobení. Zkontroluj ho.

Zkus si

Řeš rovnici: $(x + 4)^2 = x^2 + 2x + 7$

Ukaž řešení

Umocni. $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2x + 7$ .
**Odečti $x^2$ a převeď.** $8x - 2x = 7 - 16$ , tedy $6x = -9$ .
Vyděl. $x = -9 : 6 = -1{,}5$ .
Zkouška. $(-1{,}5 + 4)^2 = 6{,}25$ a $(-1{,}5)^2 + 2 \cdot (-1{,}5) + 7 = 2{,}25 - 3 + 7 = 6{,}25$ .

Výsledek $x = -1{,}5$

Řeš rovnici: $x \cdot (x - 1) - (x - 4)^2 = 5$

Ukaž řešení

Roznásob a umocni. $x^2 - x - (x^2 - 8x + 16) = 5$ .
Odstraň závorku. $x^2 - x - x^2 + 8x - 16 = 5$ , tedy $7x - 16 = 5$ .
Dořeš. $7x = 21$ , tedy $x = 3$ .
Zkouška. $3 \cdot 2 - (3 - 4)^2 = 6 - 1 = 5$ .

Výsledek $x = 3$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.