Rovnice bez řešení a kořen nula

Co dělat, když se členy s $x$ odečtou úplně, když kořen vyjde nula a když je na obou stranách stejný člen. Jak napsat správný závěr.

V testuJedna z rovnic úlohy 4 (v roce 2025 ve variantách B–D úlohy 5) za 2 body s postupem: rovnice bez řešení (2025 A), kořen nula (2025 C, 2026 D) a stejný člen na obou stranách (2026 D). U rovnice bez řešení dostaneš bez správného závěru jen 1 bod.

Co potřebuješ znát

Když u neznámé vyjde nula

Někdy se členy s $x$ při převádění odečtou úplně a u $x$ zbude číslo nula. Na vahách to vypadá takhle: na obou miskách je stejný pytlík, vlevo jsou navíc 3 kostky a vpravo 5. Ať je v pytlíku cokoli, váhy se nevyrovnají.

Rovnice

x + 3 = x + 5

nemá řešení.

Počítáním: $x - x = 5 - 3$ , tedy $0 \cdot x = 2$ . Nula krát jakékoli číslo je nula, nikdy ne 2. Rovnost $0 \cdot x = 2$ proto neplatí pro žádné $x$ . Rovnice nemá řešení.

V postupu v aplikaci uvidíš kratší zápis, třeba „zbude 0 = 0,5, a to neplatí“. Je to totéž: levá strana $0 \cdot x$ je pro každé $x$ nula, a tak se místo ní píše rovnou nula.

Závěr napiš větou

Neplatná rovnost sama nestačí. Pod ni napiš větu „Rovnice nemá řešení.“ Bez závěru dostaneš v testu jen 1 bod ze 2.

Nepiš $x = 0$ . Nula rovnici nesplní, zkus ji dosadit.
Nepiš, že kořen je 2. Číslo, které zbylo vpravo, není kořen. Rovnost $0 \cdot x = 2$ nesplní žádné číslo.
Nepiš „nekonečně mnoho řešení“. To platí jen pro platnou rovnost.

Platná rovnost

Opačný případ: u $x$ vyjde nula a vpravo také nula, $0 \cdot x = 0$ . Ta platí pro každé $x$ , a tak je řešením každé číslo. V testech 2024–2026 taková rovnice nebyla, v aplikaci ji občas potkáš.

Kořen nula

Jiný případ: u $x$ zůstane číslo různé od nuly, jen na druhé straně vyjde nula. Z $-3{,}5x = 0$ vyděl obě strany: $x = 0 : (-3{,}5) = 0$ . Rovnice má jeden kořen, nulu. Není to rovnice bez řešení.

TipRozhoduje číslo u $x$ . $0 \cdot x = 2$ : u $x$ je nula, rovnice nemá řešení. $5x = 0$ : u $x$ je 5, obě strany vyděl pěti a kořen je nula.

Stejný člen na obou stranách

Když je na obou stranách stejný člen s $x$ , odečti ho od obou stran. Číslo u $x$ ale nemusí vyjít nula. Z $\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}x - 1 = \frac{3}{2}x + 2$ odečti $\frac{3}{2}x$ . Zbude $\frac{1}{4}x - 1 = 2$ , tedy $\frac{1}{4}x = 3$ a $x = 12$ .

TipNež napíšeš „nemá řešení“, zkontroluj, jestli na některé straně nezbyl jiný člen s $x$ .

Jak na to

Uprav rovnici jako obvykle: závorky, zlomky, podobné členy.
Členy s $x$ převeď na jednu stranu, čísla na druhou.
Podívej se na číslo u $x$ : je nula, nebo ne?
Když u $x$ není nula, vyděl tím číslem obě strany, i když je vpravo nula.
Když je u $x$ nula, posuď pravou stranu a napiš závěr celou větou.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnice bez řešení

Řeš rovnici: $0{,}6 \cdot (5 - 2x) + 1{,}5x = 4 + 0{,}3 \cdot (x - 2)$

Řešení

Roznásob závorky. $3 - 1{,}2x + 1{,}5x = 4 + 0{,}3x - 0{,}6$ .
Sečti podobné členy. $0{,}3x + 3 = 0{,}3x + 3{,}4$ .
Převeď členy. $0{,}3x - 0{,}3x = 3{,}4 - 3$ , tedy $0 \cdot x = 0{,}4$ .
Posuď rovnost. Nula krát jakékoli číslo je nula, nikdy ne $0{,}4$ . Rovnost $0 \cdot x = 0{,}4$ neplatí, ať za $x$ dosadíš cokoli.
Kontrola nuly. Dosaď za $x$ nulu. Levá strana: $0{,}6 \cdot 5 + 1{,}5 \cdot 0 = 3$ . Pravá strana: $4 + 0{,}3 \cdot (0 - 2) = 3{,}4$ . Ani nula rovnici nesplní.
Závěr. Rovnice nemá řešení.

OdpověďRovnice nemá řešení.

Příklad 2: Kořen nula

Řeš rovnici: $\frac{2x + 9}{3} - 1 = \frac{x + 4}{2} + \frac{x}{3}$

Řešení

Vynásob šesti. Jmenovatelé jsou 3 a 2. Vynásob každý člen, i samotné číslo $1$ : $2 \cdot (2x + 9) - 6 = 3 \cdot (x + 4) + 2x$ .
Roznásob a sečti. $4x + 18 - 6 = 3x + 12 + 2x$ , tedy $4x + 12 = 5x + 12$ .
Převeď členy. $4x - 5x = 12 - 12$ , tedy $-x = 0$ .
Vyděl. Obě strany vyděl číslem $-1$ : $x = 0$ .
Posuď výsledek. U $x$ bylo číslo $-1$ , ne nula. Rovnice má jeden kořen, nulu.
Zkouška. Levá strana: $\frac{2 \cdot 0 + 9}{3} - 1 = 2$ . Pravá strana: $\frac{0 + 4}{2} + \frac{0}{3} = 2$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = 0$ .

Časté chyby

Členy s $x$ se odečtou úplně a ty napíšeš $x = 0$ .
Dosaď nulu do zadání: rovnost nevyjde. Když u $x$ vyjde nula, posuď pravou stranu a napiš závěr.
Ze zbylé rovnosti $0 \cdot x = 0{,}4$ opíšeš číslo jako kořen: $x = 0{,}4$ .
Kořen je číslo, které po dosazení splní rovnici. Tady ji nesplní žádné číslo, protože levá strana je vždy nula.
U neplatné rovnosti napíšeš „nekonečně mnoho řešení“.
Neplatná rovnost neplatí nikdy: rovnice nemá řešení. Každé číslo je řešením jen u platné rovnosti jako $0 = 0$ .
Skončíš u neplatné rovnosti a závěr nenapíšeš.
Za chybějící závěr přijdeš v testu o bod. Poslední řádek je věta „Rovnice nemá řešení.“
Vyjde $-x = 0$ a ty napíšeš, že rovnice nemá řešení.
U $x$ je $-1$ , ne nula. Obě strany vyděl číslem $-1$ : kořen je nula.
Odečteš stejný člen a myslíš si, že se členy s $x$ odečetly všechny, i když na jedné straně zbyl jiný člen s $x$ .
Po odečtení se podívej na obě strany. Když zbyl člen s $x$ , řeš rovnici dál.

Zkus si

Řeš rovnici: $\frac{2}{3} \cdot (3x + 6) - 7 = 2x + \frac{x - 6}{4}$

Ukaž řešení

Roznásob. $2x + 4 - 7 = 2x + \frac{x - 6}{4}$ .
Odečti stejný člen. Člen $2x$ je na obou stranách. Po odečtení zbude $-3 = \frac{x - 6}{4}$ . Člen s $x$ zůstal.
Vynásob čtyřmi. $-12 = x - 6$ , tedy $x = -6$ .
Zkouška. $\frac{2}{3} \cdot (-18 + 6) - 7 = -8 - 7 = -15$ a $2 \cdot (-6) + \frac{-6 - 6}{4} = -12 - 3 = -15$ .

Výsledek $x = -6$

Řeš rovnici: $\frac{x + 1}{2} - \frac{x}{3} = \frac{x + 5}{6}$

Ukaž řešení

Vynásob šesti. $3 \cdot (x + 1) - 2x = x + 5$ .
Uprav levou stranu. $3x + 3 - 2x = x + 5$ , tedy $x + 3 = x + 5$ .
Převeď členy. $x - x = 5 - 3$ , tedy $0 \cdot x = 2$ .
Závěr. Rovnost $0 \cdot x = 2$ neplatí pro žádné $x$ . Rovnice nemá řešení.

VýsledekRovnice nemá řešení.

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.