Soustava dvou rovnic

Dvě rovnice se dvěma neznámými. Jak jednu neznámou vyloučit sčítací nebo dosazovací metodou a jak dopočítat druhou.

V testuDruhá část úlohy s rovnicemi, pokyn „Řešte soustavu rovnic“. Byla ve čtyřech testech (2025 B, D jako úloha 5.2, 2026 A, C jako úloha 4.2) za 2 body s postupem. Když spočítáš správně jen jednu neznámou, dostaneš 1 bod.

Co potřebuješ znát

Co je soustava

Soustavu tvoří dvě rovnice se dvěma neznámými, obvykle $x$ a $y$ . Řešení je dvojice čísel, která splní obě rovnice zároveň.

Soustavu $x + y = 10$ a $x - y = 4$ řeší $x = 7$ a $y = 3$ : $7 + 3 = 10$ a $7 - 3 = 4$ .

Postup je vždy stejný: ze dvou rovnic udělej jednu rovnici s jednou neznámou. Vyřeš ji a druhou neznámou dopočítej.

Sčítací metoda

Když je v obou rovnicích u jedné neznámé stejné číslo, rovnice od sebe odečti. Odečítáš celé strany: levou od levé, pravou od pravé. Ta neznámá zmizí.

Vezmi soustavu $4x + 3y = 18$ a $4x - y = 10$ . U $x$ je v obou rovnicích $4$ . Od první odečti druhou:

(4x + 3y) - (4x - y) = 18 - 10

Vlevo zbude $3y + y = 4y$ , vpravo $8$ . Z $4y = 8$ vyjde $y = 2$ . Dosaď do druhé rovnice: $4x - 2 = 10$ , tedy $4x = 12$ a $x = 3$ .

TipKdyž jsou u neznámé opačná čísla, třeba $y$ a $-y$ , rovnice sečti.

Když stejná čísla nejsou, vynásob jednu rovnici tak, aby byla. Z rovnice $x + 2y = 7$ je po vynásobení třemi $3x + 6y = 21$ . Tu pak odečteš od rovnice, která má také $3x$ .

Dosazovací metoda

Když je v jedné rovnici neznámá sama, třeba $y = 3x - 2$ , dosaď celý výraz do druhé rovnice místo $y$ . Výraz dej do závorky.

Soustava $y = 3x - 2$ a $2x + y = 13$ : $2x + (3x - 2) = 13$ , tedy $5x = 15$ a $x = 3$ . Pak $y = 3 \cdot 3 - 2 = 7$ .

Když neznámá sama není, ale nemá u sebe žádné číslo, nejdřív ji vyjádři. V rovnici $4x + y = 9$ převeď člen $4x$ doprava: $y = 9 - 4x$ . Teprve pak tento výraz dosaď do druhé rovnice.

TipPřed dosazenou závorkou bývá minus nebo číslo. Závorka zajistí, že působí na celý výraz.

Zkouška a zápis

Zkouška: dosaď obě čísla do obou rovnic. Jedna rovnice nestačí, protože z ní se druhá neznámá dopočítávala.

Výsledek zapiš jako dvojici, třeba $x = 3$ , $y = 7$ . Úloha chce obě neznámé.

Jak na to

Podívej se na čísla u neznámých. Stejná nebo opačná? Sčítací metoda. Neznámá sama nebo bez čísla (jen $y$ )? Dosazovací: vyjádři ji a dosaď.
Vylouč jednu neznámou a vyřeš rovnici s druhou.
Výsledek dosaď do jedné z rovnic a dopočítej druhou neznámou.
Udělej zkoušku v obou rovnicích a zapiš $x$ i $y$ .

Řešené příklady

Příklad 1: Sčítací metoda

Řeš soustavu rovnic:

$5x - 2y = -13$

$5x + 3y = 7$

Řešení

Vyber metodu. V obou rovnicích je $5x$ . Od druhé rovnice odečti první, člen s $x$ zmizí.
Odečti rovnice. Levou od levé, pravou od pravé: $(5x + 3y) - (5x - 2y) = 7 - (-13)$ .
Uprav. Minus před závorkou změní obě znaménka: $5x + 3y - 5x + 2y = 7 + 13$ , tedy $5y = 20$ .
Vypočítej y. $y = 20 : 5 = 4$ .
Dopočítej x. Dosaď $y = 4$ do první rovnice: $5x - 2 \cdot 4 = -13$ , tedy $5x - 8 = -13$ a $5x = -5$ . Odtud $x = -1$ .
Zkouška. První rovnice: $5 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 = -5 - 8 = -13$ . Druhá rovnice: $5 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -5 + 12 = 7$ . Obě platí.

OdpověďŘešením soustavy je $x = -1$ a $y = 4$ .

Příklad 2: Dosazovací metoda

Řeš soustavu rovnic:

$x = 2y - 5$

$5x - 4 \cdot (y + 2) = -15$

Řešení

Vyber metodu. V první rovnici je $x$ samo. Výraz $2y - 5$ dosaď do druhé rovnice místo $x$ , do závorky: $5 \cdot (2y - 5) - 4 \cdot (y + 2) = -15$ .
Roznásob závorky. Číslo před závorkou násob s oběma členy. Před čtyřkou je minus, a tak se obě znaménka ve druhé závorce změní: $10y - 25 - 4y - 8 = -15$ .
Sečti a vyřeš. $6y - 33 = -15$ , tedy $6y = 18$ a $y = 3$ .
Dopočítej x. Dosaď do první rovnice: $x = 2 \cdot 3 - 5 = 1$ .
Zkouška. První rovnice: $2 \cdot 3 - 5 = 1$ . Druhá rovnice: $5 \cdot 1 - 4 \cdot (3 + 2) = 5 - 20 = -15$ . Obě platí.

OdpověďŘešením soustavy je $x = 1$ a $y = 3$ .

Časté chyby

Při odečítání rovnic změníš znaménko jen u prvního členu odečítané rovnice: $(5x + 3y) - (5x - 2y)$ upravíš na $3y - 2y$ .
Odečítáš celou rovnici. Dej ji do závorky a změň znaménka všech jejích členů: $-(5x - 2y) = -5x + 2y$ .
Spleteš se při odečítání záporného čísla: $7 - (-13)$ spočítáš jako $-6$ .
Odečíst záporné číslo je totéž jako přičíst kladné: $7 - (-13) = 7 + 13 = 20$ .
Dosazený výraz nedáš do závorky. Číslo před ním pak násobí jen první člen: z $5x$ uděláš $5 \cdot 2y - 5$ .
Dosazuj vždy do závorky: $5 \cdot (2y - 5) = 10y - 25$ .
Před dosazenou závorkou je minus a ty změníš znaménko jen u prvního členu.
Minus mění znaménka všech členů v závorce, stejně jako u každé jiné závorky.
Spočítáš jen jednu neznámou a druhou zapomeneš.
Úloha chce obě. Za jednu neznámou dostaneš v testu jen 1 bod. Druhou dopočítej dosazením.
Zkoušku uděláš jen v jedné rovnici.
Dosaď obě čísla do obou rovnic. Rovnice, ze které se druhá neznámá dopočítávala, vyjde vždy, i když je první neznámá špatně.

Zkus si

Řeš soustavu rovnic:

$2x + y = 5$

$3x - y = 15$

Ukaž řešení

Sečti rovnice. U $y$ jsou opačná čísla: $2x + y + 3x - y = 5 + 15$ , tedy $5x = 20$ a $x = 4$ .
Dopočítej y. $2 \cdot 4 + y = 5$ , tedy $y = 5 - 8 = -3$ .
Zkouška. První rovnice: $2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$ . Druhá rovnice: $3 \cdot 4 - (-3) = 12 + 3 = 15$ .

Výsledek $x = 4$ , $y = -3$

Řeš soustavu rovnic:

$x - 2y = 9$

$4x + 3y = 14$

Ukaž řešení

Vyjádři x. Z první rovnice $x = 9 + 2y$ .
Dosaď. $4 \cdot (9 + 2y) + 3y = 14$ , tedy $36 + 8y + 3y = 14$ a $11y = -22$ . Odtud $y = -2$ .
Dopočítej x. $x = 9 + 2 \cdot (-2) = 5$ .
Zkouška. První rovnice: $5 - 2 \cdot (-2) = 5 + 4 = 9$ . Druhá rovnice: $4 \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 20 - 6 = 14$ .

Výsledek $x = 5$ , $y = -2$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.