Rozklad podle vzorce a² − b²

Jak poznat rozdíl dvou druhých mocnin a rozložit ho na součin. I když ho uvidíš až po úpravě výrazu.

V testuRozklad podle vzorce byl v sedmi testech z dvanácti. Za 1 bod přímo (2024 A, 2026 C) nebo po úpravě (2024 B, 2024 C, 2025 D, 2026 A), jen výsledek. V testu 2025 A byla úprava a rozklad podúlohou za 2 body s postupem. Správně upravený, ale nerozložený výraz tam dostal 1 bod.

Přijímačky 2027: V přijímačkách 2027 rozklad na součin podle vzorců nebude, CERMAT ho z požadavků vypustil. Vytýkání a umocnění dvojčlenu zůstávají.

Co potřebuješ znát

Rozdíl dvou druhých mocnin

Vzorec $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ z kapitoly o vzorcích přečti obráceně. Rozdíl dvou druhých mocnin je součin součtu a rozdílu jejich základů.

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Ze čtverce

a^2

odstřihni čtverec

b^2

. Zbytek přeskládej na obdélník se stranami

a + b

a - b

Vzorec je v tabulce vzorců v testovém sešitu. Musíš ale poznat, kdy ho použít.

Poznej druhé mocniny

Oba členy musí být druhé mocniny a mezi nimi minus. U čísla si vybav malou násobilku nebo tabulku druhých mocnin 11 až 20 v testovém sešitu. U členu s proměnnou odmocni číslo i proměnnou.

$49 = 7^2$ , $121 = 11^2$ , $225 = 15^2$ ,
desítky: $30^2 = 900$ , $70^2 = 4\,900$ ,
$36x^2 = (6x)^2$ , $81a^2 = (9a)^2$ ,
$9 \cdot 9 = 9^2$ : součin dvou stejných čísel je taky druhá mocnina.

Součet dvou druhých mocnin, třeba $x^2 + 25$ , podle tohoto vzorce rozložit nejde.

Co patří do závorek

Do závorek píšeš základy, ne celé druhé mocniny: $25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2 = (5 + 2y)(5 - 2y)$ .

V závorce s minusem je první ten člen, od kterého se odčítá. Zápis $(2y - 5)(2y + 5)$ se rovná $4y^2 - 25$ , tedy výrazu s opačnými znaménky.

TipPořadí závorek nevadí, $(5 - 2y)(5 + 2y)$ je také správně. Závorky $(2y - 5)$ a $(5 - 2y)$ ale nejsou totéž, liší se znaménky.

Nejdřív uprav, pak rozlož

Pokyn „Upravte a rozložte na součin pomocí vzorce“ skrývá rozdíl druhých mocnin. Uvidíš ho až po úpravě. Členy s proměnnou v první mocnině se při ní obvykle vyruší a zbude dvojčlen.

4y(y + 2) - 8y - 9 = 4y^2 + 8y - 8y - 9 = 4y^2 - 9 = (2y + 3)(2y - 3)

\begin{aligned} 4y(y + 2) - 8y - 9 &= 4y^2 + 8y - 8y - 9 \\ &= 4y^2 - 9 \\ &= (2y + 3)(2y - 3) \end{aligned}

TipKdyž po úpravě zbude číslo, které není druhou mocninou, nejspíš je chyba v úpravě. Nejčastěji u minusu před závorkou.

Jak na to

Když je ve výrazu závorka, uprav ho bez závorek a sečti podobné členy.
Zkontroluj, že zbyly dva členy, oba druhé mocniny, a mezi nimi minus.
Najdi základy: odmocni číslo i proměnnou.
Zapiš součin $(a + b)(a - b)$ , kde $a$ je člen, od kterého se odčítá.
Pro kontrolu roznásob závorky.

Řešené příklady

Příklad 1: Rozklad přímo

Rozlož na součin užitím vzorce: $64y^2 - 121$

Řešení

Druhé mocniny. $64y^2 = (8y)^2$ a $121 = 11^2$ , to najdeš i v tabulce vzorců v testu.
Základy. Člen, od kterého odčítáme, je $8y$ , druhý základ je 11.
Zapíšeme součin. $64y^2 - 121 = (8y + 11)(8y - 11)$ .

OdpověďRozložený výraz je $(8y + 11)(8y - 11)$ .

Příklad 2: Úprava a rozklad

Uprav a výsledek rozlož na součin užitím vzorce: $(x - 4)^2 + 8x - 25$

Řešení

Umocníme. $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$ .
Sečteme. $x^2 - 8x + 16 + 8x - 25 = x^2 - 9$ . Členy s $x$ se vyruší.
Druhé mocniny. $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$ .
Rozložíme. $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ .

OdpověďRozložený výraz je $(x + 3)(x - 3)$ .

Časté chyby

Do závorek napíšeš druhé mocniny místo základů: z $49x^2 - 4$ uděláš $(49x + 4)(49x - 4)$ .
Do závorek patří základy: $49x^2 - 4 = (7x + 2)(7x - 2)$ .
Rozdíl druhých mocnin zapíšeš jako druhou mocninu: z $49x^2 - 4$ uděláš $(7x - 2)^2$ .
Druhá mocnina $(7x - 2)^2$ má tři členy, $49x^2 - 28x + 4$ . Rozklad rozdílu je součin dvou různých závorek, jedné s plus a jedné s minus.
Prohodíš členy v závorce s minusem: $25 - 4y^2$ rozložíš jako $(2y + 5)(2y - 5)$ .
Ten součin se rovná $4y^2 - 25$ , má opačná znaménka. Do závorky s minusem dej napřed člen, od kterého se odčítá.
Při úpravě před rozkladem změníš u minusu před závorkou znaménko jen prvního členu. Pak nezbude rozdíl druhých mocnin a rozklad nejde.
Minus před závorkou otočí znaménko každého členu. Když po úpravě nevyjde rozdíl druhých mocnin, hledej chybu v úpravě.
Upravíš výraz a zapomeneš ho rozložit.
Pokyn „rozložte na součin“ chce součin. Upravený dvojčlen bez rozkladu na plný počet bodů nestačí.

Zkus si

Rozlož na součin užitím vzorce: $100 - 49c^2$

Ukaž řešení

Druhé mocniny. $100 = 10^2$ a $49c^2 = (7c)^2$ .
Součin. $100 - 49c^2 = (10 + 7c)(10 - 7c)$ .

Výsledek $(10 + 7c)(10 - 7c)$

Uprav a výsledek rozlož na součin užitím vzorce: $(2b + 5)(2b - 1) - 4(2b + 1)$

Ukaž řešení

Roznásobíme. $(2b + 5)(2b - 1) = 4b^2 - 2b + 10b - 5 = 4b^2 + 8b - 5$ a $-4(2b + 1) = -8b - 4$ .
Sečteme. $4b^2 + 8b - 5 - 8b - 4 = 4b^2 - 9$ .
Rozložíme. $4b^2 - 9 = (2b + 3)(2b - 3)$ .

Výsledek $(2b + 3)(2b - 3)$