Rozklad na součin vytýkáním

Jak výraz rozložit na součin tím, že vytkneš, co mají všechny členy společné. I když je to záporný člen a i když výraz musíš nejdřív upravit.

V testuVytýkání bylo v pěti testech z dvanácti. Za 1 bod jako vytknutí zadaného členu (2026 D) nebo jako úprava a vytknutí (2024 D, 2025 B, 2026 B), jen výsledek. V testu 2024 A byla úprava a vytknutí podúlohou za 2 body s celým postupem. Správně upravený výraz bez vytknutí tam dostal 1 bod.

Co potřebuješ znát

Vytýkání je opak roznásobení

Roznásobením uděláš ze součinu součet: $3x(2x - 5) = 6x^2 - 15x$ . Vytknutím jdeš obráceně, ze součtu uděláš součin: $6x^2 - 15x = 3x(2x - 5)$ .

Vytknout znamená vydělit každý člen tím, co vytýkáš. Vytknutý činitel napíšeš před závorku, výsledky dělení do ní.

6x^2 - 15x = 3x \cdot (2x - 5)

$6x^2 : 3x = 2x$ a $-15x : 3x = -5$

Co vytknout

Vytkni všechno, co mají všechny členy společné: největší společný dělitel čísel a proměnnou, která je v každém členu, v nejmenší mocnině.

$8a^2 + 12a = 4a(2a + 3)$ : čísla 8 a 12 mají největší společný dělitel 4 a proměnná $a$ je v obou členech,
$14y - 21 = 7(2y - 3)$ : proměnná není v obou členech, vytkneš jen číslo,
$12x + 18 = 6(2x + 3)$ , ne $2(6x + 9)$ : z té závorky jde ještě vytknout 3.

TipRozklad je hotový, když ze závorky už nejde nic vytknout. Jinak ti aplikace napíše, že výraz není rozložený.

Když vytkneš celý člen, zůstane 1

Když vytkneš celý člen, zůstane po dělení v závorce jednička: $5y^2 - y = y(5y - 1)$ , protože $-y : y = -1$ .

Kontrola roznásobením ti chybějící jedničku ukáže hned: $y(5y - 1) = 5y^2 - y$ .

Vytknutí záporného členu

Když vytýkáš záporný člen, dělíš záporným číslem. Každý člen v závorce proto změní znaménko.

-6x + 10 = -2(3x - 5)

$-6x : (-2) = 3x$ a $10 : (-2) = -5$

Zadání píše vytknutý člen do závorky, třeba „vytkněte $(-x)$ “. Před závorkou pak musí být přesně $-x$ , i se znaménkem.

Nejdřív uprav, pak vytkni

Pokyn „Upravte a rozložte na součin vytknutím“ má dva kroky. Nejdřív výraz uprav bez závorek a sečti podobné členy. Teprve z výsledku vytýkej.

x(x + 5) + 3x^2 - 9x = x^2 + 5x + 3x^2 - 9x = 4x^2 - 4x = 4x(x - 1)

\begin{aligned} x(x + 5) + 3x^2 - 9x &= x^2 + 5x + 3x^2 - 9x \\ &= 4x^2 - 4x \\ &= 4x(x - 1) \end{aligned}

TipPo úpravě se některé členy často vyruší. Vytýkej až z toho, co zbude.

Jak na to

Když je ve výrazu závorka nebo mocnina, uprav ho bez závorek a sečti podobné členy.
Najdi, co mají všechny členy společné: největší společný dělitel čísel a společnou proměnnou.
Vyděl tím každý člen a výsledky napiš do závorky. U záporného činitele otoč znaménka.
Zkontroluj, že ze závorky už nejde nic vytknout, a roznásob zpátky.

Řešené příklady

Příklad 1: Vytknutí záporného členu

Vytkni $(-4a)$ : $12a^2b - 8ab + 4a$

Řešení

Vydělíme každý člen. $12a^2b : (-4a) = -3ab$ , $-8ab : (-4a) = 2b$ a $4a : (-4a) = -1$ .
Znaménka. Dělíme záporným členem, proto má každý člen v závorce opačné znaménko než v zadání. Ze členu $4a$ zůstane $-1$ , ne nula.
Zapíšeme součin. $12a^2b - 8ab + 4a = (-4a) \cdot (-3ab + 2b - 1)$ .
Kontrola. Roznásobením dostaneme zpátky $12a^2b - 8ab + 4a$ .

OdpověďPo vytknutí dostaneme $(-4a) \cdot (-3ab + 2b - 1)$ .

Příklad 2: Úprava a vytknutí s postupem

Uprav a výsledek rozlož na součin vytknutím: $(2y - 3)(y + 4) - 2y \cdot (y + 1) - 3$ . Napiš celý postup.

Řešení

Dvě závorky. $(2y - 3)(y + 4) = 2y^2 + 8y - 3y - 12 = 2y^2 + 5y - 12$ .
Minus před součinem. $-2y \cdot (y + 1) = -(2y^2 + 2y) = -2y^2 - 2y$ .
Podobné členy. $2y^2 + 5y - 12 - 2y^2 - 2y - 3 = 3y - 15$ . Členy s $y^2$ se vyruší.
Vytkneme číslo. Čísla 3 a 15 mají největší společný dělitel 3: $3y - 15 = 3(y - 5)$ .

OdpověďPo úpravě a vytknutí dostaneme $3(y - 5)$ .

Časté chyby

Po vytknutí záporného členu necháš v závorce stejná znaménka jako v zadání.
Dělíš záporným číslem, takže se znaménko každého členu otočí. Kontrola roznásobením chybu ukáže.
Ze členu, který vytkneš celý, nenapíšeš do závorky nic: z $5y^2 - y$ uděláš $y \cdot 5y$ .
Člen vydělený sám sebou dá 1: $5y^2 - y = y(5y - 1)$ .
Vytkneš jen část: z $12x + 18$ uděláš $2(6x + 9)$ , z $6x^2 - 9x$ uděláš $3(2x^2 - 3x)$ .
Vytkni největší společný dělitel i společnou proměnnou: $6(2x + 3)$ a $3x(2x - 3)$ .
Vytýkáš z neupraveného výrazu a v závorce pak nesečteš podobné členy.
Nejdřív výraz uprav bez závorek, pak vytýkej. V závorce má být každý druh členu jen jednou.
Při úpravě umocníš jen proměnnou: $(3a)^2$ napíšeš jako $3a^2$ .
Umocni číslo i proměnnou: $(3a)^2 = 9a^2$ .
V podúloze za 2 body výraz upravíš, ale nevytkneš.
Pokyn chce součin. Správně upravený výraz bez vytknutí dostal v testu jen 1 bod ze 2.

Zkus si

Uprav a výsledek rozlož na součin vytknutím: $2a(a - 3) + a^2 + 4a$

Ukaž řešení

Roznásobíme. $2a(a - 3) = 2a^2 - 6a$ .
Sečteme. $2a^2 - 6a + a^2 + 4a = 3a^2 - 2a$ .
Vytkneme. Oba členy obsahují $a$ : $3a^2 - 2a = a(3a - 2)$ .

Výsledek $a(3a - 2)$

Vytkni $(-6p)$ : $-12p^2 + 18p$

Ukaž řešení

Vydělíme každý člen. $-12p^2 : (-6p) = 2p$ a $18p : (-6p) = -3$ .
Znaménka. Dělíme záporným členem, oba členy v závorce mají opačné znaménko než v zadání.
Zapíšeme součin. $-12p^2 + 18p = (-6p) \cdot (2p - 3)$ .

Výsledek $(-6p) \cdot (2p - 3)$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.