Vzorce (a + b)², (a − b)² a (a + b)(a − b)

Jak rychle umocnit dvojčlen a vynásobit součet a rozdíl. I když je ve dvojčlenu zlomek, záporné číslo nebo číslo před závorkou.

V testuUmocnění dvojčlenu bylo podúlohou úlohy s výrazy za 1 bod v sedmi testech z dvanácti (všechny varianty 2024, 2025 C, 2026 C a D), jen výsledek. V testu 2025 A se do vzorce doplňovala čísla do rámečků, také za 1 bod. Vzorce potřebuješ i v podúloze za 2 body a v rovnicích. Najdeš je v tabulce vzorců v testovém sešitu, ale zapsané obráceně, jako rozklad na součin.

Co potřebuješ znát

Druhá mocnina součtu jako obsah čtverce

Čtverec se stranou $a + b$ má obsah $(a + b)^2$ . Rozděl ho na čtyři části: čtverec $a^2$ , čtverec $b^2$ a dva stejné obdélníky $ab$ .

Dva obdélníky

ab

dají prostřední člen

2ab

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Prostřední člen je dvojnásobný součin obou členů. Na dvojku se zapomíná nejčastěji.

Druhá mocnina rozdílu

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Minus má jen prostřední člen. Poslední člen je druhá mocnina, a ta nikdy není záporná. Vzorec dostaneš roznásobením: $(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .

Součin součtu a rozdílu

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Závorky se liší jen znaménkem u druhého členu. Prostřední členy se vyruší: $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$ .

Vzorec poznáš i v přeházeném pořadí: $(3 + 2k)(2k - 3) = 4k^2 - 9$ . Člen $2k$ má v obou závorkách stejné znaménko, číslo 3 opačné.

TipČlen se stejným znaménkem v obou závorkách je $a$ , člen s opačným znaménkem je $b$ .

Za a a b dosaď celé členy

Písmena $a$ a $b$ ve vzorci zastupují celé členy, i s číslem. Každý člen umocni celý: číslo i proměnnou.

(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

\begin{aligned} (3x - 2)^2 &= (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \\ &= 9x^2 - 12x + 4 \end{aligned}

Se zlomkem stejně, umocni čitatel i jmenovatel: $\left(\frac{x}{2} + 3\right)^2 = \frac{x^2}{4} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 3 + 9 = \frac{x^2}{4} + 3x + 9$ .

Se záporným členem si pomůžeš závorkou: $(-2c + 5)^2 = (-2c)^2 + 2 \cdot (-2c) \cdot 5 + 5^2 = 4c^2 - 20c + 25$ .

TipKdyž jsou záporné oba členy, platí $(-a - b)^2 = (a + b)^2$ . Závorka $(-a - b)$ je $-(a + b)$ a $(-1)^2 = 1$ .

Nejdřív sečti, co jde

Když jsou v závorce podobné členy, sečti je dřív, než umocníš. Ze dvou členů se stejnou proměnnou zbude jeden a umocníš jen jednočlen.

$\left(\frac{3y}{4} + \frac{y}{2}\right)^2 = \left(\frac{5y}{4}\right)^2 = \frac{25y^2}{16}$ ,
$(5b - 2b + 1)^2 = (3b + 1)^2 = 9b^2 + 6b + 1$ .

Číslo před závorkou

Číslo před mocninou násobí až umocněnou závorku. Nejdřív umocni, pak vynásob každý člen.

3(x - 2)^2 = 3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12

\begin{aligned} 3(x - 2)^2 &= 3(x^2 - 4x + 4) \\ &= 3x^2 - 12x + 12 \end{aligned}

Se zlomkem před závorkou postupuj stejně: $\frac{1}{2}(x + 4)^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16) = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 8$ .

Číslo do závorky před umocněním nedávej: $3(x - 2)^2 \neq (3x - 6)^2$ . Ve druhém výrazu by se umocnila i trojka.

Čísla do rámečků

V úloze s rámečky čteš vzorec pozpátku. Porovnej člen po členu: první člen vpravo je druhá mocnina prvního členu v závorce, prostřední člen je dvojnásobný součin a poslední je druhá mocnina druhého členu.

Číslo v závorce často najdeš z prostředního členu. Prostřední člen $10t$ je $2 \cdot t \cdot 5$ , do závorky proto patří 5, ne 10.

Jak na to

Sečti podobné členy uvnitř závorky.
Urči $a$ a $b$ , i se znaménkem a s číslem.
Spočítej tři členy: $a^2$ , dvojnásobný součin $2ab$ a $b^2$ .
Když je před závorkou číslo, vynásob jím každý člen výsledku.
Zkontroluj znaménko prostředního členu a dvojku v něm.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvojčlen se zlomkem

Umocni a uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $\left(\frac{2}{3}m + 3\right)^2$

Řešení

Vzorec. Použijeme $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , kde první člen je $\frac{2}{3}m$ a druhý $3$ .
První člen. Umocníme zlomek i proměnnou: $\left(\frac{2}{3}m\right)^2 = \frac{4}{9}m^2$ .
Dvojnásobný součin. $2 \cdot \frac{2}{3}m \cdot 3 = 4m$ .
Poslední člen. $3^2 = 9$ .
Zapíšeme. $\left(\frac{2}{3}m + 3\right)^2 = \frac{4}{9}m^2 + 4m + 9$ .

OdpověďPo umocnění dostaneme $\frac{4}{9}m^2 + 4m + 9$ .

Příklad 2: Číslo před závorkou

Roznásob a uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $2(3 - 5x)^2$

Řešení

Nejdřív mocnina. Dvojka násobí až umocněnou závorku. Podle vzorce pro $(a - b)^2$ : $(3 - 5x)^2 = 9 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + 25x^2 = 9 - 30x + 25x^2$ .
Vynásobíme dvěma. Dvojkou vynásobíme každý člen: $2(9 - 30x + 25x^2) = 18 - 60x + 50x^2$ .

OdpověďPo úpravě dostaneme $50x^2 - 60x + 18$ .

Příklad 3: Čísla do rámečků

Doplň do rámečků taková čísla, aby platila rovnost: $(\boxed{\phantom{0}}\,k + 5)^2 =$ $\boxed{\phantom{0}}\,k^2 + 30k + 25$

Řešení

Číslo v závorce. Prostřední člen $30k$ je dvojnásobný součin obou členů závorky. Dvojnásobek čísla 5 je 10 a $30 : 10 = 3$ , do závorky patří 3: $2 \cdot 3k \cdot 5 = 30k$ .
První člen. Je to druhá mocnina prvního členu v závorce: $(3k)^2 = 9k^2$ . Do druhého rámečku patří 9.
Kontrola. $(3k + 5)^2 = 9k^2 + 30k + 25$ .

OdpověďDo závorky patří 3 a do druhého rámečku 9.

Časté chyby

Vynecháš prostřední člen: z $(x + 4)^2$ uděláš $x^2 + 16$ .
Vzorec má tři členy. Prostřední je dvojnásobný součin, správně $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ .
V prostředním členu zapomeneš dvojku nebo napíšeš špatné znaménko: z $(-2c + 5)^2$ uděláš $4c^2 + 20c + 25$ .
Prostřední člen spočítej jako součin $2 \cdot a \cdot b$ i se znaménky obou členů: $2 \cdot (-2c) \cdot 5 = -20c$ . U $(a - b)^2$ je proto minus, u $(-a - b)^2$ plus. Poslední člen je druhá mocnina, ta záporná nebude.
Umocníš jen proměnnou nebo jen čitatel: z $(3x)^2$ uděláš $3x^2$ , z $\left(\frac{x}{2}\right)^2$ uděláš $\frac{x^2}{2}$ .
Umocni celý člen: $(3x)^2 = 9x^2$ a $\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}$ .
Druhá mocnina záporného čísla ti vyjde záporná: $(-5)^2$ jako $-25$ .
Minus krát minus je plus: $(-5)^2 = 25$ .
Číslo před závorkou dáš do závorky ještě před umocněním, nebo jím vynásobíš jen první člen.
Nejdřív umocni závorku, pak vynásob každý člen: $3(x - 2)^2 = 3x^2 - 12x + 12$ .
V úloze s rámečky napíšeš do závorky celé číslo z prostředního členu: u $t^2 + 10t$ napíšeš 10.
Prostřední člen je dvojnásobný součin: $2 \cdot t \cdot 5 = 10t$ . Číslo v závorce je proto polovina čísla 10, tady 5.

Zkus si

Umocni a uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $\left(\frac{y}{4} - 6\right)^2$

Ukaž řešení

Tři členy. $\left(\frac{y}{4}\right)^2 = \frac{y^2}{16}$ , $2 \cdot \frac{y}{4} \cdot 6 = 3y$ a $6^2 = 36$ .
Znaménko. V závorce je minus, proto má minus prostřední člen: $\left(\frac{y}{4} - 6\right)^2 = \frac{y^2}{16} - 3y + 36$ .

Výsledek $\frac{y^2}{16} - 3y + 36$

Doplň do rámečků taková čísla, aby platila rovnost: $(p - 8)^2 =$ $p^2 - \boxed{\phantom{0}}\,p + \boxed{\phantom{0}}$

Ukaž řešení

Prostřední člen. $2 \cdot p \cdot 8 = 16p$ , do prvního rámečku patří 16.
Poslední člen. $8^2 = 64$ , do druhého rámečku patří 64.

Výsledek16 a 64

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.